重心定理证明书(三角形重心定理如何证明)

重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。(等边三角形）重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

大家好，今天小编关注到一个比较有意思的话题，就是关于重心定理证明书的问题，于是小编就整理了3个相关介绍重心定理证明书的解答，让我们一起看看吧。

文章目录：

1. 重心的性质及证明
2. 三角形重心定理如何证明
3. 三角形重心定理如何证明?

一、重心的性质及证明

重心的性质及证明方法

　　1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.　　三角形ABC,E、F是AB,AC的中点.EC、FB交于G.　　过E作EH平行BF.　　AE=BE推出AH=HF=1/2AF 　　AF=CF 　　推出HF=1/2CF 　　推出EG=1/2CG 　　2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.　　证明方法：　　在▲ABC内,三边为a,b,c,点O是该三角形的重心,AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知,OA1=1/3AA1,OB1=1/3BB1,OC1=1/3CC1过O,A分别作a边上高h1,h可知h1=1/3h 则,S(▲BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(▲ABC)；同理可证S(▲AOC)=1/3S(▲ABC),S(▲AOB)=1/3S(▲ABC) 所以,S(▲BOC)=S(▲AOC)=S(▲AOB) 　　3、重心到三角形3个顶点距离的和最小.(等边三角形） 　　证明方法：　　设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x,y） 则该点到三顶点距离和为：(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2 　　=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2 　　=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 　　显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时 　　上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 　　最终得出结论.　　4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,　　即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)； 　　空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/3 　　5、三角形内到三边距离之积最大的点.

作业

二、三角形重心定理如何证明

证明：

连结AO并延长，交BC于E,连结DE

因为CD是AB边上的中线,点O是三角形ABC的重心

所以AE是BC边上的中线

所以AD=DB,CE=EB

所以DE是三角形ABC的中位线

所以ED‖AC,ED=1/2AC，即ED/AC=1/2

所以△OED∽△OAC

所以OD/OC=ED/AC=1/2

即OC=2OD

延长OD到E，使CO=OE，连结AE，BO交AC于F

因为O为重心，即中线的交点

CO=OE,CF=FA

BF‖AE

AD=BD

△DBO≌△DAE

OD=DE

则OC=2OD

证明：

在三角形ABC中，向量BO与向量BF共线，故可设BO=xBF

根据三角形加法法则：向量AO=AB+BO

=a+ xBF=a+ x(AF-AB)

= a+ x(b/2-a)=(1-x)a+(x/2)b

向量CO与向量CD共线，故可设CO=yCD,

根据三角形加法法则：向量AO=AC+CO

=b+ yCD=b+y(AD-AC)

= b+y(a/2-b)=(y/2)a+(1-y)b.

所以向量AO=(1-x)a+(x/2)b=(y/2)a+(1-y)b

则1-x= y/2， x/2=1-y，

解得x=2/3,y=2/3.

向量BO=2/3BF，向量CO=2/3CD

即BO：OF=CO：OD=2。

∴向量AO=(y/2)a+(1-y)b=1/3a+1/3b

又因向量AE=AB+BE=a+1/2BC= a+1/2(AC-AB)

= a+1/2(b-a)=1/2a+1/2b

从而向量AO=2/3向量AE

即向量AO与向量AE共线，所以A、O、E三点共线

且有AO：OE=2。

因此，三角形ABC的三条边的中线交于一点，该点叫做三角形的重心。

扩展资料：

三角形重心定理的性质：

1、重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的2倍。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

5，三角形重心是三角形三条中线的交点,当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。

参考资料来源：

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三、三角形重心定理如何证明?

设这个三角形为ABC，D，E，F分别为AB

BC

AC交点，CD

AE

BF交于O，则O为重心，连DE，则有DE为其中位线，则有DE//AC，且DE：AC=1：2

因为DE//AC，由其分线段成比例得AC：DE=OA：OE=OC：OD=2：1

同理其他也得得证。

扩展资料：

1、重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的2倍。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3）。

参考资料来源：

到此，以上就是小编对于重心定理证明书的问题就介绍到这了，希望介绍关于重心定理证明书的3点解答对大家有用。

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重心定理证明书